基本结构与工作原理
典型等离子球包含：
- 中央电极：接高频高压电源；
- 玻璃球壳：绝缘介质；
- 内部低压稀有气体：常见为 Ne、Ar、Xe 或混合气体；
- 外部空气与人体：可作为电容耦合的"虚拟接地"。
中央电极施加高频交流高压后，在球内形成随时间振荡的电场：
$$V(t)=V_0\sin(\omega t)$$
公式推导：交流电压表达式
此式是正弦交流电压的定义式，其中 $V_0$ 是电压幅值，$\omega = 2\pi f$ 是角频率，$f$ 是电源频率。等离子球通常工作于数千赫兹到数十千赫兹的范围内。该式直接来自于电源输出端的波形设定——在一个完整的交流周期中，电压从 $+V_0$ 到 $-V_0$ 之间反复震荡。
近似地，在某一瞬间，球内某点的电场强度可写为：
$$E \sim \frac{V}{d}$$
其中 $V$ 是中央电极与球内某一位置之间的电势差，$d$ 是该点距中央电极的特征距离。
公式推导：均匀场近似
出发点：两点间的电势差定义为电场沿路径的线积分：
$$V = -\int_a^b \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$
当电场近似均匀时（例如在两块无限大平行板之间），电场恒定，积分简化为：
$$V = E \cdot d$$
因此得到 $E = V/d$。值得强调的是，等离子球内的实际电场并不均匀——中央电极附近曲率半径小，电场最强；远离电极处电场逐渐衰减。因此 $E \sim V/d$ 仅作为数量级估计。在击穿前或未电离区域，电场分布可由拉普拉斯方程近似求解；放电形成后，则需要结合泊松方程、壁面电荷、介质响应和等离子体输运过程共同描述。
电场分布：为什么从中心向外发散？
在击穿发生之前，或在近似无自由空间电荷的未电离区域，电势 $\phi$ 可近似满足拉普拉斯方程。一旦放电形成，空间中存在电子、离子和壁面电荷，电势一般应由泊松方程描述：
$$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
因此拉普拉斯方程在等离子球中的适用性是有限的。以下推导说明拉普拉斯方程的来源及在理想化情形下的结论。
公式推导：拉普拉斯方程
出发点：高斯定律的微分形式。麦克斯韦方程组中，高斯定律的微分形式为：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
在没有自由电荷（$\rho = 0$）的空间中：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$$
电场可通过电势的梯度表示。严格地说，在时变电磁场中 $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$，电场一般不能完全写成标量势梯度。但等离子球的工作频率通常在 kHz 到几十 kHz 量级，系统尺寸远小于电磁波长，因此常可采用准静电近似，将瞬时电场近似写为：
$$\mathbf{E} \approx -\nabla \phi$$
代入 $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$：
$$\nabla \cdot (-\nabla \phi) = 0 \quad \Rightarrow \quad \nabla^2 \phi = 0$$
这就是拉普拉斯方程，描述了无自由电荷区域内电势的分布规律。在球坐标系 $(r, \theta, \varphi)$ 中，拉普拉斯方程展开为：
$$\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2} = 0$$
球对称近似下的电场衰减
对于球对称情形，电势只依赖于径向坐标 $r$，拉普拉斯方程退化为：
$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\phi}{dr}\right) = 0$$
积分一次：
$$r^2\frac{d\phi}{dr} = C_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{d\phi}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$$
再积分一次：
$$\phi(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2$$
其中 $C_1, C_2$ 由边界条件确定。
电场由 $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ 给出，在球对称下：
$$E(r) = -\frac{d\phi}{dr} = \frac{C_1}{r^2}$$
高斯定律形式
更直接地，从高斯定律的积分形式出发：
$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$
取半径为 $r$ 的球面为高斯面，由球对称性，电场沿径向且大小处处相等：
$$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
因此：
$$E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$$
这就是库仑定律的场形式。
重要限定：上述 $E(r) \propto 1/r^2$ 是基于孤立球形电极、忽略玻璃边界、外部物体、空间电荷和放电通道反馈的高度理想化结果。真实等离子球中：
- 外部玻璃球壳不是理想接地导体；
- 外界环境和人体会改变边界条件；
- 放电细丝本身会重塑电场；
- 高频交流下涉及介电极化、壁面电荷积累和电容耦合；
- 中央电极连接到高频高压源，不是孤立点电荷。
因此 $E(r) \propto 1/r^2$ 可作为理解"中心电极附近电场较强"的直观模型，但不能认为等离子球内电场整体都按 $1/r^2$ 衰减。真实电场是非球对称、非均匀、时变的，需要结合边界条件、介质极化、壁面电荷和等离子体通道共同求解。
尽管如此，定性结论依然成立：中央电极附近电场最强，最容易首先发生气体电离。随后放电通道向外延伸，形成从中心向玻璃壁发散的亮丝。
气体击穿：电子雪崩的推导
等离子球内部是低压气体。初始时气体中总有少量自由电子，来源包括宇宙射线、自然放射性、残余电离等。
电子加速与能量获取
当电场足够强时，自由电子被加速。电子在一次自由程中从电场获得的能量为：
$$\Delta K \approx eE\lambda$$
公式推导
出发点：功的定义。一个电荷 $q$ 在电场 $\mathbf{E}$ 中运动距离 $\mathbf{l}$，电场做功为：
$$W = q\mathbf{E} \cdot \mathbf{l}$$
电子带负电，严格应写 $q = -e$。但在数量级估计中，我们关心的是电子获得动能的大小，因此取 $e$ 表示元电荷的正值（$e = 1.602 \times 10^{-19}$ C），设电子沿其加速方向（与 $\mathbf{E}$ 相反）运动的平均自由程为 $\lambda$（即电子与气体原子两次碰撞之间走过的平均距离），则有：
$$\Delta K \sim eE\lambda$$
这里的 $\lambda$ 称为电子平均自由程，由气体动理论给出：
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}n\sigma}$$
其中 $n$ 是气体分子数密度，$\sigma$ 是碰撞截面。在低压气体中，$n$ 较小，因此 $\lambda$ 较大——这意味着电子可以在两次碰撞之间获得更多能量，这是低压气体更容易电离的根本原因之一。
电离条件
作为一个直观的数量级判据，如果电子在一次自由程内获得的能量（以 $eE\lambda$ 估计）超过气体原子的电离能 $I$：
$$eE\lambda \gtrsim I$$
电子就有可观的概率通过碰撞电离气体原子：
$$e^- + A \rightarrow 2e^- + A^+$$
其中 $A$ 是气体原子，$A^+$ 是正离子。
注意：这只是一个粗略判据。真实的电离概率取决于电子能量分布函数（EEDF）、非弹性碰撞截面 $\sigma(\varepsilon)$ 以及约化电场 $E/N$（电场强度与气体数密度之比），并不是要求每个电子在一个自由程内都获得电离能。
Townsend 电子雪崩
公式推导：指数增长
出发点：一阶线性微分方程。定义 Townsend 第一电离系数 $\alpha$，其物理含义是：一个电子沿其漂移方向运动单位长度，平均发生的碰撞电离次数。$\alpha$ 也称为电离率。
考虑电子数密度在空间中的变化。设 $x$ 方向为电子漂移方向（即与 $\mathbf{E}$ 相反的方向）。在位置 $x$ 处，令电子数为 $n(x)$。在位移 $dx$ 内，每个电子平均引起 $\alpha \cdot dx$ 次电离，每次电离产生一个新电子（加上原来的电子），因此：
$$dn = n(x) \cdot \alpha \cdot dx$$
即：
$$\frac{dn}{dx} = \alpha n$$
这是一个标准的一阶线性常微分方程。分离变量：
$$\frac{dn}{n} = \alpha dx$$
积分：
$$\int_{n_0}^{n(x)} \frac{dn}{n} = \int_0^x \alpha dx$$
$$\ln n(x) - \ln n_0 = \alpha x$$
$$\ln\frac{n(x)}{n_0} = \alpha x$$
取指数：
$$n(x) = n_0 e^{\alpha x}$$
这就是 Townsend 电子雪崩公式，描述电子数量沿电子漂移方向（雪崩发展方向）的指数增长。其中：
- $n_0$ 是起始位置的初始电子数；
- $\alpha$ 是 Townsend 第一电离系数，依赖于气体种类、压强和电场强度；
- $x$ 是电子沿其漂移方向运动的距离。
Townsend 击穿条件的推导
气体放电能否自持（即去除外部电离源后放电能否继续），取决于电子雪崩是否能通过正反馈持续下去。
Townsend 击穿条件为：
$$\gamma\left(e^{\alpha d}-1\right) = 1$$
公式推导
出发点：自持放电要求——每个初始电子必须引发至少一个新的初始电子。
设电极间距为 $d$。一个初始电子从阴极出发，到达阳极时经雪崩产生的电子总数为 $e^{\alpha d}$（由雪崩公式 $n(d) = n_0 e^{\alpha d}$，取 $n_0 = 1$）。
在这 $e^{\alpha d}$ 个电子中，有 1 个是初始电子本身，其余 $e^{\alpha d} - 1$ 个是雪崩过程中新产生的电子。
每个电离事件同时产生一个正离子。因此雪崩产生的正离子数也是 $e^{\alpha d} - 1$。
这些正离子在电场作用下向阴极漂移，撞击阴极表面。$\gamma$ 是二次电子发射系数（Townsend 第二电离系数），定义为一个正离子撞击阴极时平均释放出的二次电子数。
因此，一次雪崩产生的正离子撞击阴极后，释放出的新电子数为：
$$N_{\text{新}} = \gamma(e^{\alpha d} - 1)$$
自持放电要求这些新电子至少等于 1（即至少再引发一次雪崩）：
$$\gamma(e^{\alpha d} - 1) \geq 1$$
临界条件即为：
$$\gamma(e^{\alpha d} - 1) = 1$$
这就得到了 Townsend 击穿判据。当 $\gamma(e^{\alpha d} - 1) > 1$ 时，每一次雪崩产生的二次电子多于一个，电流将以指数形式持续增长，最终导致气体击穿。
适用性限定：Townsend 雪崩模型和击穿判据在平行板直流放电或近似均匀场放电中非常经典，提供了气体击穿的基本微观图像。但等离子球属于非均匀场、高频电容耦合放电系统：
- 电场高度非均匀；
- 是高频交流放电，不是简单 DC 放电；
- 没有明确的平行板阴极—阳极几何；
- 玻璃壁是介质，具有类似介质阻挡放电（DBD）的特征；
- 二次电子发射不仅来自金属阴极，还可能涉及壁面、电极、离子轰击、光电效应和亚稳态粒子过程。
因此 Townsend 理论可作为理解局部击穿的基础机制说明，但不能将等离子球完全等同于平行板 Townsend 放电。
Paschen 定律的推导
公式推导
出发点：电离系数 $\alpha$ 对电场和压强的依赖关系。
实验和理论表明，电离系数 $\alpha$ 与气体压强 $p$ 之比是约化电场 $E/p$ 的函数：
$$\frac{\alpha}{p} = f\left(\frac{E}{p}\right)$$
通常采用的半经验形式为：
$$\frac{\alpha}{p} = A \exp\left(-\frac{Bp}{E}\right)$$
其中 $A$ 和 $B$ 是与气体种类相关的经验常数。推导此式的物理依据是：电子在两次碰撞之间的能量获取 $\propto E/p$，而发生电离的概率 $\propto \exp(-I / \text{平均能量})$，因此 $\alpha/p \propto \exp(-\text{const} \cdot p/E)$。
在击穿的临界点，电场 $E$ 近似等于击穿电压 $V_b$ 除以电极间距 $d$（即 $E \approx V_b/d$）。将此关系代入 $\alpha$ 的表达式：
$$\alpha = Ap \exp\left(-\frac{Bpd}{V_b}\right)$$
将此 $\alpha$ 代入 Townsend 击穿条件 $\gamma(e^{\alpha d} - 1) = 1$：
$$\gamma\left[\exp\left(Apd \exp\left(-\frac{Bpd}{V_b}\right)\right) - 1\right] = 1$$
整理：
$$\exp\left(Apd \exp\left(-\frac{Bpd}{V_b}\right)\right) = 1 + \frac{1}{\gamma}$$
取对数：
$$Apd \exp\left(-\frac{Bpd}{V_b}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{\gamma}\right)$$
再取一次对数并整理：
$$-\frac{Bpd}{V_b} = \ln\left[\frac{\ln(1 + 1/\gamma)}{Apd}\right]$$
$$V_b = \frac{Bpd}{\ln(Apd) - \ln\left[\ln(1 + 1/\gamma)\right]}$$
这就是 Paschen 定律的最终形式：
$$V_b = \frac{Bpd}{\ln(Apd) - \ln\left[\ln\left(1 + \frac{1}{\gamma}\right)\right]}$$
物理内涵
在平行板、均匀场、固定气体和固定电极材料等理想条件下，Paschen 定律表明击穿电压 $V_b$ 仅仅是 $pd$（压强与电极间距的乘积）的函数，而不是 $p$ 或 $d$ 各自的独立函数。这一定律在这些理想条件下可通过实验精确验证。
$V_b$ 随 $pd$ 的变化呈现 U 形曲线，存在一个最小值——即存在最优的 $pd$ 值，使得击穿最容易发生。在等离子球的情形中：
- 球内为低压气体（$p$ 较小），电子平均自由程 $\lambda$ 较大（因为 $\lambda \propto 1/p$），电子在两次碰撞之间能获得更多能量——有利于电离；
- 但如果压强过低（$p$ 极小），虽然自由程很长，总体碰撞次数太少，电离事件总数不足——反而不利于击穿；
- 这就是为什么等离子球内充盈的是低压而非极低压的气体，旨在接近 Paschen 曲线的最小值附近。
适用性限定：Paschen 定律严格适用于给定气体、给定电极材料、近似均匀场和平行板几何下的直流气体击穿。对于等离子球，它只能作为理解低压气体击穿趋势的定性参考，而不能直接给出真实击穿电压。原因包括：
- 电场非均匀，不能简单用 $E \approx V_b/d$；
- 电极不是平行板，电极几何和玻璃球壳改变了场分布；
- 高频交流下击穿还依赖频率、壁面电荷积累和介电响应；
- 外部物体（如人手）会改变边界条件；
- 玻璃壳使等离子球具有类似介质阻挡放电（DBD）的特征，例如壁面电荷积累、放电自限流和每个交流周期内的重复击穿，放电通道长度不是固定电极间距。
此外，更严谨的表达应使用气体数密度 $N$ 而非压强 $p$，因为 $N$ 才是更基本的物理量：
$$\frac{\alpha}{N} = f\left(\frac{E}{N}\right)$$
仅在温度近似恒定时，$N \propto p$，才可写为 $\alpha/p = f(E/p)$。
等离子体的准中性与德拜屏蔽
一旦气体被电离，球内局部区域包含电子、离子和中性原子，形成等离子体。在远离边界的主体区域，等离子体满足准中性条件：
$$n_e \approx n_i$$
公式推导
出发点：电荷分离会产生强电场，限制进一步分离。
假设发生微小电荷分离，出现了净电荷密度 $\rho = e(n_i - n_e)$。由高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$，这将产生电场。该电场反过来会吸引相反电荷，抑制进一步的电荷分离。
等离子体中准中性的尺度由德拜长度 $\lambda_D$ 刻画。在大于 $\lambda_D$ 的尺度上，$n_e \approx n_i$ 成立。
德拜长度的推导
出发点：泊松方程与玻尔兹曼分布的联立。
考虑一个带正电的点电荷（或一个电极）浸入等离子体。在稳态下，电子和离子在电势 $\phi(r)$ 中的分布遵循玻尔兹曼分布：
$$n_e(r) = n_0 \exp\left(\frac{e\phi(r)}{k_B T_e}\right)$$
$$n_i(r) = n_0 \exp\left(-\frac{e\phi(r)}{k_B T_i}\right)$$
其中 $n_0$ 是远离扰动处的均匀密度，$T_e$ 和 $T_i$ 分别是电子和离子的温度（注意在弱电离等离子体中，离子温度通常远低于电子温度）。
电势满足泊松方程（高斯定律的微分形式）：
$$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} = -\frac{e(n_i - n_e)}{\varepsilon_0}$$
代入玻尔兹曼分布，并假设 $e\phi \ll k_B T_e$（弱扰动近似，即电势能远小于热动能），将指数展开为一阶：
$$n_e \approx n_0\left(1 + \frac{e\phi}{k_B T_e}\right), \quad n_i \approx n_0\left(1 - \frac{e\phi}{k_B T_i}\right)$$
在讨论快速电子屏蔽或电子主导的弱扰动近似时，离子由于质量大、响应时间较长，可在第一近似下视为近似静止背景，即 $n_i \approx n_0$。泊松方程变为：
$$\nabla^2 \phi = -\frac{e}{\varepsilon_0}\left[n_0 - n_0\left(1 + \frac{e\phi}{k_B T_e}\right)\right] = \frac{n_0 e^2}{\varepsilon_0 k_B T_e}\phi$$
在局部近似为平面几何、且扰动足够弱的区域，拉普拉斯算子可近似为 $d^2/dx^2$，有：
$$\frac{d^2\phi}{dx^2} = \frac{1}{\lambda_D^2}\phi$$
其解为 $\phi(x) \propto e^{-x/\lambda_D}$，即电势以德拜长度指数衰减。
若采用球对称几何（适用于围绕点电荷或小电极的情形），泊松方程为：
$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\phi}{dr}\right) = \frac{\phi}{\lambda_D^2}$$
其解为屏蔽库仑势的形式：
$$\phi(r) \propto \frac{e^{-r/\lambda_D}}{r}$$
其中定义了德拜长度：
$$\lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2}}$$
上述推导给出的是电子德拜长度。如果电子和离子都满足 Boltzmann 响应，则总德拜长度由各带电粒子种类共同贡献：
$$\frac{1}{\lambda_D^2} = \sum_s \frac{n_s q_s^2}{\varepsilon_0 k_B T_s}$$
对于仅含电子和单电荷离子的等离子体，上式简化为：
$$\frac{1}{\lambda_D^2} = \frac{n_e e^2}{\varepsilon_0 k_B T_e} + \frac{n_i e^2}{\varepsilon_0 k_B T_i}$$
但在许多低温气体放电中，离子由于质量大、响应慢，在鞘层或强场区域并不总能用简单 Boltzmann 分布描述，且按 Boltzmann 公式 $n_i \propto \exp(-e\phi/k_B T_i)$，$T_i$ 越低意味着空间变化越剧烈，离子对屏蔽的贡献反而更大——这与"离子响应弱"的直觉不同。因此在讨论快速电子屏蔽或弱扰动主体等离子体时，常直接使用电子德拜长度：
$$\lambda_{De} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2}}$$
德拜长度表示电场能在等离子体中穿透的典型距离。如果系统的特征尺寸 $L$ 远大于 $\lambda_D$，则等离子体内部大部分区域满足准中性条件（$n_e \approx n_i$）。等离子球的典型尺寸为数十厘米；在典型低温等离子体条件下，德拜长度常远小于装置尺寸，但具体数值因电子密度和电子温度在放电通道内外的显著差异而变化很大，需由实验参数估算。
但在边界附近——例如玻璃壁附近或中央电极附近——电子由于质量小、热运动速度快，比离子更容易逃离到壁上，从而形成等离子体鞘层（sheath），局部准中性被破坏。
细丝状放电的成因
理论上如果电场均匀且电离均匀，整个球内都可能发光。但实际上等离子球中通常形成细丝状通道。下面推导其物理成因。
欧姆定律与电流集中
电离区域具有高电导率，电流密度满足欧姆定律：
$$\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$$
公式推导
出发点：带电粒子在电场和碰撞阻尼下的漂移。
对单个电子，运动方程为（忽略惯性项，因为碰撞占主导）：
$$m_e \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\mathbf{E} - m_e \nu_m \mathbf{v}$$
其中 $\nu_m$ 是电子与中性粒子的动量碰撞频率。在稳态下，$d\mathbf{v}/dt = 0$，得到漂移速度：
$$\mathbf{v}_d = -\frac{e\mathbf{E}}{m_e \nu_m}$$
（负号表示电子沿与电场相反方向漂移）。
电流密度是所有带电粒子漂移运动的总贡献。对电子：
$$\mathbf{J} = -e n_e \mathbf{v}_d = -e n_e \left(-\frac{e\mathbf{E}}{m_e \nu_m}\right) = \frac{n_e e^2}{m_e \nu_m} \mathbf{E}$$
因此得到等离子体电导率：
$$\sigma = \frac{n_e e^2}{m_e \nu_m}$$
这是经典的 Drude 型电导率，适用于碰撞主导（$\nu_m$ 远大于其他特征频率）的直流或低频近似。等离子球工作于高频交流场，严格来说电导率应考虑频率依赖，写成复电导率形式：
$$\sigma(\omega) = \frac{n_e e^2}{m_e(\nu_m - i\omega)}$$
当驱动角频率远小于碰撞频率（$\omega \ll \nu_m$）时，虚部可忽略，才退化为 $\sigma \approx n_e e^2/(m_e \nu_m)$。在等离子球的典型工作条件下（频率 kHz 至几十 kHz，碰撞频率通常在 MHz 至 GHz 量级），此近似通常成立，但应在概念上知道更一般的形式。
细丝形成的正反馈
一旦某处形成局部电离通道，该区域的电子密度 $n_e$ 急剧上升，由 $\sigma \propto n_e$ 可知，电离通道的电导率 $\sigma$ 远高于周围未电离气体。由 $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$，大部分电流将优先流过这条高电导通道。
电流集中 → 更多的碰撞能量沉积 → 更多的电离 → 更高的 $n_e$ → 更高的 $\sigma$ → 更强的电流集中。这一正反馈过程可表述为：
$$\text{强电场} \rightarrow \text{电离增强} \rightarrow \text{电导率升高} \rightarrow \text{电流集中} \rightarrow \text{进一步电离}$$
电流集中导致的电导率正反馈是细丝形成的一个重要机制，但并非唯一原因。等离子球中细丝状结构的形成还涉及：
- 非均匀电场的优先电离：中央电极附近电场最强，电离首先在此处发生；
- 空间电荷增强局部电场：雪崩头部积累的正离子形成空间电荷区，畸变并增强前方电场；
- 电子雪崩向流注放电的转变：当雪崩达到临界大小时，空间电荷场可与外加电场相当，触发流注（streamer）传播；
- 气体加热效应：放电通道内的气体被加热，局部密度降低，进一步影响电离率和放电路径稳定性；
- 壁面电荷积累：电子和离子打到玻璃壁后积累的壁面电荷会改变局部电场分布，限制已有通道并重定向新通道；
- 高频交流下的反复熄灭与重新点燃：每个交流半周期内放电通道可能熄灭并在新位置重新击穿。
正是多种非线性过程的耦合，使得放电收缩为一条条独立的明亮细丝，而非均匀弥漫发光。
发光机制：原子能级跃迁
等离子球发光不是气体被"烧热"，而主要来自原子或离子的电子能级跃迁。
激发
电子碰撞使气体原子从基态 $A$ 激发到激发态 $A^*$：
$$e^- + A \rightarrow e^- + A^*$$
退激发与光子发射
激发态不稳定（寿命通常在纳秒量级），原子随即退激发，多余的能量以光子形式释放：
$$A^* \rightarrow A + h\nu$$
公式推导：光子能量
出发点：玻尔频率条件——这是量子力学的基本假设之一。
原子中电子的能量不是连续的，而是分立的能级。当电子从高能级 $E_2$ 跃迁到低能级 $E_1$ 时，发射光子的能量等于两个能级的能量差：
$$h\nu = E_2 - E_1$$
其中 $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J·s 是普朗克常数，$\nu$ 是光子的频率。
不同气体的能级结构不同，因此发光颜色不同：
- 氖（Ne）常呈红橙色（特征谱线主要在红色区域）；
- 氩（Ar）在常见情况下呈淡紫、蓝紫或紫色（受谱线分布、汞蒸气杂质及玻璃荧光等因素影响）；
- 氙（Xe）常呈蓝白色。
实际谱线既可来自中性原子的激发态跃迁（$A^* \rightarrow A + h\nu$），也可来自离子的激发态跃迁（$A^{+*} \rightarrow A^+ + h\nu$），具体取决于气体种类、电子能量分布和放电条件。
电容耦合与位移电流：为什么手靠近会使电丝指向手指？
人体相当于一个较大的导体，通过电容耦合与地相连。当手靠近玻璃球时，形成了更强的电容耦合路径。
电容的定义
电容定义为：
$$C = \frac{\varepsilon A}{d}$$
公式推导
出发点：平行板电容器的场与电荷关系。
对于面积为 $A$、间距为 $d$ 的平行板电容器（两板间填充介电常数为 $\varepsilon$ 的介质），电容器上的电荷与电压的关系为：
$$Q = CV$$
同时，平行板间的电场 $E = V/d$，而由高斯定律 $E = \sigma_s/\varepsilon = Q/(\varepsilon A)$（$\sigma_s$ 为面电荷密度）。联立：
$$\frac{V}{d} = \frac{Q}{\varepsilon A} \quad \Rightarrow \quad Q = \frac{\varepsilon A}{d} V$$
与 $Q = CV$ 对比，得：
$$C = \frac{\varepsilon A}{d}$$
手靠近玻璃球时，等效面积 $A$ 增大（手指与玻璃的"重叠"面积）、等效距离 $d$ 减小（手指贴近玻璃外壳），因此局部等效电容 $C$ 增大。需要说明的是，手指—玻璃—等离子体之间的几何显然不是平行板，$C = \varepsilon A/d$ 仅作为直观的局部近似，真实等效电容应由具体曲面几何和非均匀介质分布决定。
电容耦合电流
交流电压下，通过电容的电流为：
$$I_C = C\frac{dV}{dt}$$
公式推导
出发点：电流是电荷的时间变化率。
由 $Q = CV$，两边对时间求导：
$$I = \frac{dQ}{dt} = C\frac{dV}{dt}$$
（假设 $C$ 不随时间变化）。
代入 $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$：
$$I_C = C \cdot \omega V_0 \cos(\omega t) = \omega CV_0 \cos(\omega t)$$
可以看到，电容耦合电流正比于 $\omega C$。手靠近使 $C$ 增大，因此通过该位置耦合的电流增大。
需要强调的是，手并不是以机械方式"吸引"放电丝。手作为通过电容耦合近似接地的导体，改变了外部的电磁边界条件：手指附近的等效电容增大，使该区域成为更有效的交流电流耦合路径，局部电场和位移电流因此增强。放电通道更倾向于在此处终止或形成新的分叉，表现为电丝"指向"手指附近。是一种边界条件改变和电容耦合增强效应，而非静电力吸引。
位移电流
即使玻璃是绝缘体，交流电场也可以通过位移电流实现能量耦合。最一般的形式为：
$$\mathbf{J}_D = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$
其中 $\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$ 是电位移矢量。在线性、各向同性、均匀介质中，$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$（$\varepsilon$ 为介质的介电常数），且若 $\varepsilon$ 不随时间变化，则：
$$\mathbf{J}_D = \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
公式推导
出发点：安培-麦克斯韦定律。
在麦克斯韦修正之前的安培定律只包含传导电流 $\mathbf{J}_{\text{free}}$。麦克斯韦从对称性和电荷守恒出发，引入了位移电流项。使用 $\mathbf{H}$ 和 $\mathbf{D}$ 表述的安培-麦克斯韦定律为：
$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{\text{free}} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$
取散度：
$$0 = \nabla \cdot \mathbf{J}_{\text{free}} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{D})$$
利用高斯定律 $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_{\text{free}}$，得到：
$$\nabla \cdot \mathbf{J}{\text{free}} + \frac{\partial \rho{\text{free}}}{\partial t} = 0$$
这正是电荷守恒的连续性方程——位移电流 $\partial\mathbf{D}/\partial t$ 的引入使电磁场方程组自洽。在线性、各向同性、均匀介质中，$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$，位移电流密度简化为 $\varepsilon \partial\mathbf{E}/\partial t$。在等离子球中，高频电场通过玻璃介质产生的位移电流是维持放电的能量传输方式。
放电通道形成的总结性推导
等离子球内放电丝的形成可概括为以下物理步骤的递进：
- 中央电极施加高频高压 $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$；
- 在击穿前或未电离区域，电势分布可近似由拉普拉斯方程 $\nabla^2 \phi = 0$ 描述；若忽略外部边界和空间电荷反馈，球对称近似下 $E(r) \propto 1/r^2$；
- 少量自由电子在电场中获得能量 $\Delta K \sim eE\lambda$；
- 当 $eE\lambda \gtrsim I$ 时，电子碰撞电离气体原子，引发 Townsend 雪崩 $n(x) = n_0 e^{\alpha x}$；
- Paschen 定律为理解低压气体击穿趋势提供了基本参考：在合适的 $pd$ 范围内（对应 Paschen 曲线的最小值附近），击穿电压可接近最低值；但当压强过低时，由于碰撞次数不足，击穿电压反而升高；等离子球的非均匀高频场中，实际击穿还取决于电极几何、频率、玻璃介质和外部电容耦合；
- 击穿后形成局部导电等离子体通道，主体区域满足准中性条件 $n_e \approx n_i$，德拜长度为 $\lambda_D = \sqrt{\varepsilon_0 k_B T_e / (n_e e^2)}$；
- 等离子体通道电导率 $\sigma = n_e e^2/(m_e \nu_m)$ 远高于周围气体，由欧姆定律 $\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}$ 驱动电流集中——结合空间电荷场增强、流注发展和壁面电荷反馈等多种非线性过程，放电收缩为细丝；
- 通道内电子碰撞激发原子 $A \rightarrow A^$，激发态退激发 $A^ \rightarrow A + h\nu$，发射光子，呈现不同颜色的亮丝；
- 手靠近时，作为近似接地导体改变了边界条件，使局部电容增大、电容耦合电流和位移电流增强——放电通道更倾向于终止在手指附近。
核心公式速览
| 公式 | 名称 | 推导基础 |
|---|---|---|
| $\mathbf{E} \approx -\nabla\phi$ | 电场与电势关系（准静电近似） | 时变场中当系统尺寸 $\ll$ 波长时，$\nabla \times \mathbf{E} \approx 0$ |
| $\nabla^2 \phi = 0$ | 拉普拉斯方程（击穿前/未电离区域） | 高斯定律 + $\mathbf{E} \approx -\nabla\phi$（无源区 $\rho=0$） |
| $E(r) \propto 1/r^2$ | 球对称电场衰减 | 高斯定律积分形式 |
| $\Delta K \approx eE\lambda$ | 电子能量获取 | 功的定义 $W = q\mathbf{E} \cdot \mathbf{l}$ |
| $eE\lambda \gtrsim I$ | 碰撞电离条件 | 能量比较 |
| $n(x) = n_0 e^{\alpha x}$ | Townsend 电子雪崩 | 一阶线性微分方程 $dn/dx = \alpha n$ |
| $\gamma(e^{\alpha d} - 1) = 1$ | Townsend 击穿条件 | 自持放电：初始电子 $\rightarrow$ 雪崩 $\rightarrow$ 二次电子 |
| $V_b = \frac{Bpd}{\ln(Apd) - \ln[\ln(1 + 1/\gamma)]}$ | Paschen 定律 | $\alpha/p = A\exp(-Bp/E)$ + Townsend 条件 |
| $n_e \approx n_i$ | 准中性条件 | 电荷分离产生强恢复电场（德拜屏蔽） |
| $\lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2}}$ | 德拜长度 | 泊松方程 + 玻尔兹曼分布（线性化） |
| $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ | 欧姆定律（等离子体） | 电子漂移方程 $m_e d\mathbf{v}/dt = -e\mathbf{E} - m_e \nu_m \mathbf{v}$ |
| $\sigma = \frac{n_e e^2}{m_e \nu_m}$ | 等离子体电导率（Drude 模型，$\omega \ll \nu_m$） | 由 $\mathbf{J} = -e n_e \mathbf{v}_d$ 和 $\mathbf{v}_d = -e\mathbf{E}/(m_e \nu_m)$ 联合导出；高频下应使用复电导率 $\sigma(\omega) = \frac{n_e e^2}{m_e(\nu_m - i\omega)}$ |
| $C = \varepsilon A/d$ | 平行板电容 | $Q = CV$ + 高斯定律 $E = \sigma_s/\varepsilon$ |
| $I_C = C dV/dt$ | 电容耦合电流 | $I = dQ/dt$，$Q = CV$ |
| $\mathbf{J}_D = \partial\mathbf{D}/\partial t$ | 位移电流密度（一般形式） | 安培定律自洽性修正（电荷守恒约束）；线性介质中 $\mathbf{J}_D = \varepsilon \partial\mathbf{E}/\partial t$ |
一句话总结：等离子球中的发光丝是高频高压电场在低压稀有气体中引发的局部气体击穿和等离子体通道；其形成由电子加速、碰撞电离、Townsend 雪崩、低压气体击穿、电容耦合和等离子体导电共同决定。